В физике и линейной алгебре индексы представляют собой частный случай числовых функций, где область определения — конечное множество. В отличие от непрерывных функций, где аргументом служит число из множества действительных чисел, индексные функции определены на дискретных множествах, таких как натуральные числа. Имя функции обозначается буквой, а буква в записи (например, i или j) служит лишь обозначением аргумента и не несет самостоятельного смысла. В физике часто используют одну букву для разных функций от различных аргументов, однако с математической точки зрения это разные отображения, которые должны обозначаться разными символами.
Основным способом задания индексной функции является перечисление её значений для всех возможных аргументов, что удобно представлять в виде таблицы. Хотя графический способ (точечный график) и формульный способ применимы, табличный метод считается наиболее интуитивным для конечных множеств. Арифметические операции над такими функциями, включая сложение и умножение, определяются естественным образом и полностью аналогичны операциям с обычными функциями. Например, произведение двух функций с одинаковыми аргументами создает новую функцию, значения которой равны произведению соответствующих значений исходных функций.
Концепция индексов расширяется до многомерных случаев, когда аргументом становится декартово произведение нескольких конечных множеств. Такие функции, часто называемые многоиндексными, можно представить как многомерные массивы с разными размерами. Значения таких функций записываются с использованием нескольких индексов снизу, повторяя традицию для одномерного случая. Важно помнить, что при записи равенств следует четко разделять имена функций и имена их аргументов, а также различать приравнивание самих функций и равенство их значений при конкретных аргументах.
Особую роль в работе с индексными функциями играют суммы, которые являются дискретным аналогом интегралов для непрерывных функций. Суммирование можно проводить по подмножеству аргументов, а результат суммирования по одному индексу становится функцией от остальных, оставшихся свободных индексов. Индекс, по которому ведется суммирование, называют «немым», так как он исчезает из результата, в то время как индексы, от которых зависит итоговое выражение, называют «свободными». Немые индексы можно переименовывать произвольно без изменения смысла выражения.
Суммы по разным индексам обладают свойством перестановочности: порядок суммирования не влияет на конечный результат. Это означает, что двойную сумму или сумму по нескольким индексам можно вычислять «строка за строкой» или «столбец за столбцом», получая одинаковый ответ. Данное свойство позволяет записывать сложные выражения с несколькими знаками суммирования без необходимости указывать порядок их выполнения, так как трактовка знака суммы может быть любой, не меняя значения результата. Эти принципы перестановочности легко обобщаются на функции с большим количеством индексов.
